落し物について

以前、新宿で土砂降りのなか車のキーを拾いました。
交番に届けたのですが、「落とし主が見つかったら半額（？）受け取れますがどうなさいますか」と聞かれました。
「とんでもない、結構です」と答えたら、謝礼はいりませんという趣旨の書類に署名を頼まれました。
バイト前で時間ギリギリでしたので、「そのままもらってくれ！」と思いましたが、急いでサインしてあとにしました。
謝礼が要らない場合でも証明書が必要なのは後々トラブルにならない為でしょうか。

それにしても、欲しいと言っていたら車の鍵の半額って何がいくら貰えたのでしょうか？

1