お疲れ様です。相当お悩みのようなので、うちの派遣部から資料をもらいました。ポイントは

1・保険に関しては【加入条件】があるので、契約を結んだ時点で対象であれば社会保険証はもらえるし、対象外であれば保険証は返納し、国民健康保険に加入しなければならない。

2・普通このような働き方をする場合は【原則「派遣元(ナンバサさんの言う所属している本社)」】が保険に加入させる。ただし、これにも契約時の条件で大きく変わる。

…との事でした。
僕は基本ナンバサさんのような働き方に関しては「同じ仕事場だと飽きる」「勉強の為にたくさんの経験を積みたい」方がする仕事であって「給料の安定」に対しては間逆と言って良いと思います。転職を検討されているなら早急に考えるべきと僕は感じました。
素敵な社会生活を送れるように願っています。

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